关于图的分式 DP 染色的一点注记

DP 染色（亦称对应染色）是 Dvořák 和 Postle 于 2015 年引入的列表染色的推广。2019 年，Bernshteyn、Kostochka 和 Zhu 引入了 DP 染色的一个分式版本。他们证明了与分式列表色数不同，图 $G$ 的分式 DP 色数（记为 $\chi_{_{DP}}^*(G)$）可以任意大于 $\chi^*(G)$（该图的分式色数）。我们推广了 Alon、Tuza 和 Voigt（1997）关于奇圈分式列表色数的结果，并在此过程中证明了对于每个 $k \in \mathbb{N}$，有 $\chi_{_{DP}}^*(C_{2k+1}) = \chi^*(C_{2k+1})$。我们还证明了对于任意 $n \geq 2$ 和 $m \in \mathbb{N}$，若 $p^*$ 为方程 $p=(1-p)^n$ 在 $(0,1)$ 中的解，则 $\chi_{_{DP}}^*(K_{n,m})\leq1/p^*$，并证明了这一结果在多部图中的推广。最后，我们给出了任意 $m \geq 3$ 时 $\chi_{_{DP}}^*(K_{2,m})$ 的下界。