稀疏图 DP-3-着色的计数代数方法

DP-着色（或对应着色）是列表着色的一种推广，自 Dvořák 和 Postle 于 2015 年提出以来已被广泛研究。作为图 $G$ 的色多项式 $P(G,m)$ 和列表色函数 $P_{\ell}(G,m)$ 的对应物，图 $G$ 的 DP 色函数记为 $P_{DP}(G,m)$，它计数在所有可能的 $m$ 重覆盖上的 DP-着色的最小数量。由此可知 $P_{DP}(G,m) \le P_{\ell}(G,m) \le P(G,m)$。若函数 $f$ 满足：对每图 $G$，存在 $a \geq \chi(G)$ 使得 $f(G,a) = P(G,a)$ 蕴含对所有 $m \geq a$ 有 $f(G,m) = P(G,m)$，则称 $f$ 为色固着函数。已知 DP 色函数不是色固着的，但仅有两个已知图可证明这一点。设 $G$ 为 $n$ 顶点图，$\mathcal{H}$ 为 $G$ 的一个 3 重覆盖，本文中我们赋予 $\mathcal{H}$ 一个多项式 $f_{G, \mathcal{H}} \in \mathbb{F}_3[x_1, \ldots, x_n]$，使得 $f_{G, \mathcal{H}}$ 的非零点个数等于 $G$ 的 $\mathcal{H}$-着色数。随后我们利用 Alon 和 Füredi 关于多项式非零点个数的著名结果，在 $2n > |E(G)|$ 时建立 $P_{DP}(G,3)$ 的一个非平凡下界。由此易得：对每個围长至少为 5 的 $n$ 顶点平面图 $G$，有 $P_{DP}(G, 3) \geq 3^{n/6}$，改进了先前关于 $P_{DP}(G, 3)$ 和 $P_{\ell}(G, 3)$ 的已知界。最后，我们利用该界证明存在无穷多个图可展示 DP 色函数的非色固着性。