实现骨干染色中色数的树骨干的存在性

图 $G=(V,E)$ 的恰当 $k$-染色是一个函数 $c: V(G)\to \{1,\ldots,k\}$ 使得对每条边 $uv\in E(G)$ 有 $c(u)\neq c(v)$。色数 $\chi(G)$ 是存在 $G$ 的恰当 $k$-染色的最小 $k$。给定 $G$ 的一个生成子图 $H$，$(G,H)$ 的 $q$-骨干 $k$-染色是 $V(G)$ 的一个恰当 $k$-染色 $c$，使得对每条边 $uv\in E(H)$ 有 $\lvert c(u)-c(v)\rvert \ge q$。$q$-骨干色数 $BBC_q(G,H)$ 是存在 $(G,H)$ 的 $q$-骨干 $k$-染色的最小 $k$。本文中，我们证明每个连通图 $G$ 都有一棵生成树 $T$ 使得 $BBC_q(G,T) = \max\{\chi(G),\left\lceil\frac{\chi(G)}{2}\right\rceil+q\}$，并且该值是可能最好的。作为直接推论，我们得到每个连通图 $G$ 都有一棵支撑树 $T$，若 $\chi(G)\ge 4$ 则 $BBC_2(G,T)=\chi(G)$，否则 $BBC_2(G,T)=\chi(G)+1$。因此，应用四色定理，我们有每个连通非二部平面图 $G$ 都有一棵支撑树 $T$ 使得 $BBC_2(G,T)=4$。这解决了 Wang, Bu, Montassier 和 Raspaud (2012) 的一个问题，并推广了之前针对该问题的若干部分结果。