圆形骨干着色：关于平面图的匹配与树骨干

给定图 $G$ 及其生成子图 $H$，$(G,H)$ 的圆形 $q$-骨干 $k$-着色是指 $G$ 的一个正常 $k$-着色 $c$，使得对每条边 $uv\in E(H)$ 有 $q\le \lvert c(u)-c(v)\rvert \le k-q$。$(G,H)$ 的圆形 $q$-骨干色数记为 $CBC_q(G,H)$，是指存在 $(G,H)$ 的圆形 $q$-骨干 $k$-着色的最小整数 $k$。四色定理蕴含：当 $G$ 为平面图时，$CBC_2(G,H)\le 8$。猜想当 $H$ 为树时该上界可改进为 7，当 $H$ 为匹配时可改进为 6。本文中，我们证明：1) 若 $G$ 为平面图且不含 $C_4$ 作为子图，且 $H$ 为 $G$ 的线性生成森林，则 $CBC_2(G,H)\leq 7$；2) 若 $G$ 为无两个 3-面共边的平面图，且 $H$ 为 $G$ 的匹配，则 $CBC_2(G,H)\leq 6$；3) 若 $G$ 为平面图且不含 $C_4$ 也不含 $C_5$ 作为子图，且 $H$ 为 $G$ 的匹配，则 $CBC_2(G,H)\leq 5$。这些结果部分回答了 Broersma、Fujisawa 和 Yoshimoto (2003) 以及 Broersma、Fomin 和 Golovach (2007) 提出的问题。它也指向对 Steinberg 猜想的肯定回答。