刻画 $\frac{p}{q}<4$ 时的圆染色混合性

给定图 $G$，$k$-混合问题问：能否从一个 $k$-染色 $f$ 出发，通过每次只改变一个顶点的颜色，且在每一步都保持一个 $k$-染色，从而得到 $G$ 的所有 $k$-染色？更一般地，对于图 $H$，$H$-混合问题问：能否从一个同态 $f$ 出发，通过每次只改变一个顶点的像，且在每一步都保持同态 $G \to H$，从而得到所有同态 $G \to H$？本文关注 $k$-染色的推广，即 $(p,q)$-圆染色。我们证明当 $2 < \frac{p}{q} < 4$ 时，图 $G$ 是 $(p,q)$-混合的当且仅当对 $G$ 的任意 $(p,q)$-染色 $f$ 及任意圈 $C$，$C$ 在该染色下的绕数等于某一特定值（直观上对应于无绕数）。由此我们证明 $(p,q)$-混合在一种称为折叠的限制同态下是封闭的。利用此结论，我们推出对所有 $k \in \mathbb{N}$，$(2k+1,k)$-混合是 co-NP-完全的；并通过类似思想证明，若连通图 $G$ 的圆色数为 $\frac{2k+1}{k}$，则 $G$ 可折叠到 $C_{2k+1}$。我们利用该刻画解决了 Brewster 与 Noel 的一个猜想，具体而言即二部图的自圆混合数为 $2$。最后，我们给出了当 $3 \leq \frac{p}{q} <4$ 时平面图 $(p,q)$-混合的多项式时间算法。