带彩虹 $C_4$ 的平面图的proper edge colorings

我们称图 $G$ 的proper edge colorings为B-colorings，如果其中每个4循环都使用四个不同颜色。记 $q_B(G)$ 为完成B-colorings所需的最少颜色数。针对前期关于B-colorings的论文，本文以最大度数 $\Delta = \Delta(G)$ 为界，讨论平面图和外平面图的 $q_B(G)$。我们证明对平面图有 $q_B(G)\le 2\Delta+8$，对双部平面图有 $q_B(G)\le 2\Delta$，对$\Delta \ge 4$的外平面图有 $q_B(G)\le \Delta+1$。我们推测，当 $\Delta$ 足够大时，对平面图有 $q_B(G)\le 2\Delta(G)$，对外平面图有 $q_B(G)\le \Delta(G)$。