chordal图的脊柱着色

图$G=(V,E)$的proper $k$着色是函数$c: V(G)\to \{1,\ldots,k\}$，使得对于每个边$uv\in E(G)$，都有$c(u)\neq c(v)$。图的染色数$\chi(G)$是存在proper $k$着色的最小$k$。给定图$G$的扩张子图$H$，$(G,H)$的$q$脊柱$k$着色是proper $k$着色$c$，使得对于每个边$uv\in E(H)$，都有$|c(u)-c(v)|\ge q$。$(G,H)$的$q$脊柱色数${\rm BBC}_q(G,H)$是存在$q$脊柱$k$着色的最小$k$。在经典论文中，Broersma等人询问是否对于任意chordal图$G$和任意扩张森林$H$，我们都有${\rm BBC}_2(G,H)\leq \chi(G)+O(1)$。在本工作中，我们首先表明只要$H$是二分图且$G$是一个每个顶点最多属于两个最大团的区间图，就上述结论成立。然后我们通过构造一族chordal图$G$和扩张二分子图$H$来表明这一结论并不适用于二分图作为脊柱，即存在${\rm BBC}_2(G,H)\geq \frac{5\chi(G)}{3}$。随后我们表明，如果$G$是chordal且$H$的最大平均度受限(特别是如果$H$是森林)，则${\rm BBC}_2(G,H)\leq \chi(G)+O(\sqrt{\chi(G)})$。最后我们表明，只要$G$是chordal且$H$是$C_4$免除的，就有${\rm BBC}_2(G,H)\leq \frac{3}{2}\chi(G)+O(1)$。