不可避免双色模式的演化与可平衡性的极值情形

我们研究在完全图 $K_n$ 边的一种 $2$-染色中，当 $n$ 足够大时相对于 $\min \{e(R), e(B)\}$ 不可避免的颜色模式，其中 $e(R)$ 与 $e(B)$ 分别为红色与蓝色边的数目。更确切地说，我们确定了此类不可避免模式如何从无染色限制（即 $\min \{e(R), e(B)\} \ge 0$，由拉姆齐定理给出）演化到最高可能的限制（即 $|e(R) - e(B)| \le 1$）。我们还研究了禁止每种颜色中出现某些子结构的影响。特别地，我们证明在每种颜色诱导的图均不含大小为 $r$ 的诱导匹配的 $2$-染色中，仅需对 $\min \{e(R), e(B)\}$ 弱得多的限制即可保证不可避免模式的出现。最后我们分析了这些结果对图 $G$ 的平衡数 $bal(n,G)$（即最小的 $k$，使得每个满足 $\min \{e(R), e(B)\} > k$ 的 $K_n$ 的 $2$-边染色都包含 $G$ 的一个各色边各半的拷贝）的后果，并证明对每个 $\varepsilon > 0$，存在图 $G$ 满足 $bal(n,G) \ge c n^{2-\varepsilon}$（这是可能达到的最高数量级），也存在图满足 $bal(n,G) \le c(G)$，其中 $c(G)$ 为仅依赖于 $G$ 的常数。我们刻画了后者。