度数至少为二部洞数的顶点上的圈与路径

图 $G$ 的二部洞数 $\widetilde{\alpha}(G)$ 是满足以下性质的最小整数 $k$：存在正整数 $s$ 和 $t$ 使得 $s + t = k + 1$，且对于任意两个不相交的顶点子集 $A, B \subseteq V(G)$ 满足 $|A| = s$ 和 $|B| = t$，$A$ 与 $B$ 之间至少存在一条边。1992 年，Bollobás 和 Brightwell，以及独立地 Shi，证明了每个阶数为 $n$ 的 2-连通图都包含一条经过所有度数至少为 $\frac{n}{2}$ 的顶点的圈。受其结果的启发，我们证明了在任何阶数为 $n$ 的 2-连通图中，都存在一条包含所有度数至少为 $\widetilde{\alpha}(G)$ 的顶点的圈。此外，我们证明了对于连通图 $G$ 中的任意一对顶点，如果它们的度数至少为 $\widetilde{\alpha}(G) + 1$，则存在一条连接它们的路径，该路径包含所有度数至少为 $\widetilde{\alpha}(G) + 1$ 的顶点。这些结果推广了两个已有结果。