二部图族中的横截与双泛圈性

若一个二部图包含从 4 到图顶点数的所有偶长度圈，则称其为双泛圈的。Schmeichel 与 Mitchem 的一个定理指出，对于 $n \geq 4$，在具有公共平衡二部划分的 $2n$ 个顶点上的每个平衡二部图中，若一类色类中每个顶点的度大于 $\frac{n}{2}$，另一类色类中每个顶点的度至少为 $\frac{n}{2}$，则该图是双泛圈的。我们在图横截的设置下证明了该定理的一个推广。具体而言，我们证明：给定一个族 $\mathcal{G}$，其由 $2n$ 个二部图组成，这些图定义在公共顶点集 $X$（含 $2n$ 个顶点）上且具有公共平衡二部划分，若 $\mathcal G$ 中每个图在一类色类中的最小度大于 $\frac{n}{2}$，在另一类色类中的最小度至少为 $\frac{n}{2}$，则存在 $X$ 上每个偶长度 $4 \leq \ell \leq 2n$ 的圈，该圈至多使用 $\mathcal G$ 中每个图的一条边。我们还证明：给定一个族 $\mathcal G$，其由 $n$ 个二部图组成，定义在公共顶点集 $X$（含 $2n$ 个顶点）上且满足相同的度条件，则存在 $X$ 上的一个完美匹配，该匹配恰使用 $\mathcal G$ 中每个图的一条边。