具有高阶和的顶点不交子图的存在性

对于图 $G$，若 $G$ 非完全图，我们记 $\sigma_{2}(G)$ 为两个非相邻顶点的最小度和；否则 $\sigma_{2}(G) = +\infty$。本文证明以下两个结果：(i) 若 $s_{1}, s_{2} \ge 2$ 为整数且 $G$ 为满足 $\sigma_{2}(G) \ge 2(s_{1} + s_{2} + 1) - 1$ 的非完全图，则 $G$ 包含两个顶点不交子图 $H_{1}$ 和 $H_{2}$，使得每个 $H_{i}$ 是阶至少为 $s_{i}+1$ 且 $\sigma_{2}(H_{i}) \ge 2s_{i} - 1$ 的图。(ii) 若 $s_{1}, s_{2} \ge 2$ 为整数且 $G$ 为阶至少为 $3$ 且满足 $\sigma_{2}(G) \ge 2(s_{1} + s_{2}) - 1$ 的无三角形图，则 $G$ 包含两个顶点不交子图 $H_{1}$ 和 $H_{2}$，使得每个 $H_{i}$ 是阶至少为 $2s_{i}$ 且 $\sigma_{2}(H_{i}) \ge 2s_{i} - 1$ 的图。利用此结果，我们还给出了关于存在 $k$ 个顶点不交圈的度条件的若干推论。