非一致出度与 Caccetta-Häggkvist 猜想的彩虹版本

Caccetta-Häggkvist 猜想（下文记为 CHC）指出，在 $n$ 个顶点上的有向图 $D$ 中，其有向围长（有向圈的最小长度）$dgirth(D)$ 至多为 $\lceil \frac{n}{\delta^+(D)}\rceil$，其中 $\delta^+(D)$ 是 $D$ 的最小出度。我们考虑一个涉及所有出度而不仅是最小出度的版本，并证明若 $D$ 不含汇点，则 $dgirth(D) \le 2 \sum_{v\in V(D)} \frac{1}{deg^+(v)+1}$。受 \cite{ADH2019} 中将 CHC 推广到彩虹圈的启发，这提示了一个猜想：给定 $K_n$ 的边非空集合 $F_1, \ldots,F_n$，存在一个长度至多为 $2\sum_{1\le i \le n}\frac{1}{|F_i|+1}$ 的彩虹圈。当 $1\le |F_i|\le 2$ 时我们证明了稍强的结果，从而加强了 DeVos 等人 \cite{DDFGGHMM2021} 的结果。在集合 $F_i$ 为三角形的情形下，我们证明了彩虹围长的对数界。