小边集族的短彩虹圈

2019 年，Aharoni 提出了一个推广 Caceetta-H\"aggkvist 猜想的猜想：如果一个 $n$ 顶点图 $G$ 允许用 $n$ 种颜色进行边着色（不一定是正常的），使得每种颜色类的大小至少为 $r$，那么 $G$ 包含一个长度至多为 $\lceil n/r\rceil$ 的彩虹圈。最近的工作 \cite{AG2023,ABCGZ2023,G2025} 表明，如果颜色类中有一个常数比例是非星形的，那么彩虹围长是 $O(\log n)$。在这篇注记中，我们扩展了这些结果，并表明即使只有一小部分非星形颜色类也足以确保对数彩虹围长。我们还证明了对数界在数量级上是正确的。此外，我们确定了颜色类类型之间的阈值比例，在该比例下彩虹围长从线性转变为对数。