Aharoni 彩虹圈猜想在一个加性常数范围内成立

2017 年，Aharoni 提出了如下 Caccetta-Häggkvist 猜想的推广：若 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点、含 $n$ 个大小至少为 $r$ 的颜色类的简单边染色图，则 $G$ 包含一个长度至多为 $\lceil n/r \rceil$ 的彩虹圈。本文证明，对于固定的 $r$，Aharoni 猜想在一个加性常数范围内成立。具体而言，我们证明对每个固定的 $r \geq 1$，存在常数 $\alpha_r \in O(r^5 \log^2 r)$，使得若 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点、含 $n$ 个大小至少为 $r$ 的颜色类的简单边染色图，则 $G$ 包含一个长度至多为 $n/r + \alpha_r$ 的彩虹圈。