正常边着色完全图中的长彩虹圈与使用多种颜色的哈密顿圈

我们证明了关于正常边着色图中圈的两个结果。首先，Alon、Pokrovskiy 和 Sudakov 在最近的突破性工作中证明了，任意具有 $n$ 个顶点的正常边着色完全图 $G$ 都包含至少 $n - O(n^{3/4})$ 个顶点的彩虹圈，我们对此作了微小改进，证明了 $G$ 包含至少 $n - O(\log n \sqrt{n})$ 个顶点的彩虹圈。其次，通过修改 Hatami 和 Shor 给出拉丁方部分对角线下界的论证，我们证明了任意正常着色的完全图都包含一个哈密顿圈，其中至少出现 $n - O((\log n)^2)$ 种不同的颜色。对于较大的 $n$，这改进了 Andersen 先前已知的最佳下界 $n - \sqrt{2n}$。