边着色完全图中的正常着色 Hamilton 圈

设 $K_n^c$ 为 $n$ 个顶点上的边着色完全图。令 $\Delta_{\rm mon}(K_n^c)$ 表示与 $K_n^c$ 的某个顶点关联的同色边的最大数量。正常着色圈是指没有两条相邻边颜色相同的圈。1976 年，Bollob\'as 和 Erd\H{o}s 猜想，每个满足 $\Delta_{\rm mon}(K_n^c) < \lfloor n/2 \rfloor$ 的 $K_n^c$ 都包含一个正常着色的 Hamilton 圈。在本文中，我们证明了对于任意 $\varepsilon > 0$，存在一个整数 $n_0$，使得每个满足 $\Delta_{\rm mon}(K_n^c) < (1/2 - \varepsilon) n$ 且 $n \ge n_0$ 的 $K_n^c$ 都包含一个正常着色的 Hamilton 圈。这改进了 Alon 和 Gutin 的结果。因此，Bollob\'as 和 Erd\H{o}s 的猜想在渐近意义上是成立的。