图的局部有界着色中的彩虹结构

我们证明了关于边着色拟随机图近似分解为彩虹生成结构的若干结果。更确切地说，若图中任一顶点关联的任一给定颜色的边不超过 $\ell$ 条，则称该图的边着色是局部 $\ell$-有界的；若着色中任一颜色出现不超过 $g$ 次，则称其为（全局）$g$-有界的。注意，$n$ 个顶点的图的每个正常着色都是局部 $1$-有界的，且（全局）$n/2$-有界的。我们的结果蕴含如下内容：(i) 边着色 $K_n$ 近似分解为彩虹几乎生成环的存在性，前提是着色为 $\frac{n}{2}$-有界且局部 $o(n)$-有界。(ii) 边着色 $K_n$ 近似分解为彩虹哈密顿环的存在性，前提是着色为 $(1-o(1))\frac n2$-有界且局部 $o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$-有界。(iii) 我们结果的二分图版本蕴含：每个 $n\times n$ 阵列，若每个符号总共出现 $(1-o(1))n$ 次且在每行或每列仅出现 $o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$ 次，则有近似分解为全横截。我们还证明了关于 $F$-因子的 (i) 和 (ii) 的类似结果，其中 $F$ 是任意固定图。除 (ii) 中的对数因子外，所有这些界本质上都是最优的。(i) 可视为 Alon、Pokrovskiy 和 Sudakov 近期结果的推广，他们证明了正常着色完全图中几乎生成环的存在性。(i) 和 (ii) 均蕴含 Brualdi 和 Hollingsworth 猜想的近似版本，该猜想称每个正常边着色完全图可分解为彩虹生成树。