彩虹圈缺失长度中的周期

边染色图中的圈若其任意两边颜色不同，则称为彩虹圈。对于完全的无限边染色图$G$，定义\mathfrak{S}(G)=\{n\ge 2\;|\;\text{G$中不存在彩虹$n-圈}\}。则$\mathfrak{S}(G)$关于运算$n\circ m = n+m-2$构成一个幺半群，因此存在最小正整数$\pi(G)$（即$\mathfrak{S}(G)$的周期），使得对某个足够大的$N$，$\mathfrak{S}(G)$包含等差数列$\{N+k\pi(G)\;|\;k\ge 0\}$。给定$n\in\mathfrak{S}(G)$，关于$\pi(G)$能得出什么结论？Alexeev证明了当$n\ge 3$为奇数时$\pi(G)=1$，并猜想$\pi(G)$总整除$4$。我们证明了Alexeev的猜想：令$p(n)=1$（当$n$为奇数），$p(n)=2$（当$n$被$4$整除），否则$p(n)=4$。若$2<n\in\mathfrak{S}(G)$，则$\pi(G)$整除$p(n)$。此外，对某个$N=O(n^2)$，$\mathfrak{S}(G)$包含等差数列$\{N+kp(n)\;|\;k\ge 0\}$。关键观察为：若$2<n=2k\in\mathfrak{S}(G)$则$3n-8\in\mathfrak{S}(G)$；若$16\ne n=4k\in\mathfrak{S}(G)$则$3n-10\in\mathfrak{S}(G)$。主要结果无法改进，因为对每个$k>0$存在$G, H$使得$4k\in\mathfrak{S}(G)$，$\pi(G)=2$，且$4k+2\in\mathfrak{S}(H)$，$\pi(H)=4$。