奇圈饱和博弈

给定图族 $\mathcal{F}$，我们考虑 $\mathcal{F}$-饱和博弈。在此博弈中，两名玩家在一个初始为空、含 $n$ 个顶点的图上交替添加边，唯一的限制是任何玩家都不得添加会产生属于 $\mathcal{F}$ 的子图的边。当无法再向图中添加边时博弈结束。其中一名玩家希望尽快结束博弈，另一名则希望延长博弈。令 $sat_g(\mathcal{F};n)$ 表示双方均采取最优策略时最终图中的边数。$\{C_3\}$-饱和博弈是首个被考虑的饱和博弈，但迄今为止 $sat_g(\{C_3\},n)$ 的数量级仍属未知。我们考虑该博弈的一个推广。令 $\mathcal{C}_{2k+1}:=\{C_3,\ C_5,\ldots,C_{2k+1}\}$。我们证明对所有 $k\ge 2$ 有 $sat_g(\mathcal{C}_{2k+1};n)\ge(\frac{1}{4}-\epsilon_k)n^2+o(n^2)$，且对所有 $k\ge 4$ 有 $sat_g(\mathcal{C}_{2k+1};n)\le (\frac{1}{4}-\epsilon'_k)n^2+o(n^2)$，其中 $\epsilon_k<\frac{1}{4}$ 且 $\epsilon'_k>0$ 为随 $k\to \infty$ 趋于 0 的常数。此外，我们证明对所有 $k\ge 2$ 有 $sat_g(\{C_{2k+1}\};n)\le \frac{4}{27}n^2+o(n^2)$，以及 $sat_g(\mathcal{C}_\infty\setminus C_3;n)\le 2n-2$，其中 $\mathcal{C}_\infty$ 表示所有奇圈的集合。