无Berge-F自由超图渐近大小的均匀性阈值

设 $F = (U,E)$ 为一个图，$\mathcal{H} = (V,\mathcal{E})$ 为一个超图。若存在一个单射 $\psi:U\to V$ 和一个单射 $\varphi:E\to \mathcal{E}$，使得对每个 $e=\{u,v\}\in E$ 都有 $\{\psi(u),\psi(v)\}\subset\varphi(e)$，则称 $\mathcal{H}$ 包含一个 Berge-$F$。令 $ex_r(n,F)$ 表示在 $n$ 个顶点上不含 Berge-$F$ 的 $r$-一致超图中超边数的最大值。对于足够小的 $r$ 和非二部图 $F$，有 $ex_r(n,F)=\Omega(n^2)$；我们证明对于充分大的 $r$，有 $ex_r(n,F)=o(n^2)$。令 $thres(F) = \min\{r_0 :ex_r(n,F) = o(n^2) \text{ for all } r \ge r_0 \}$。我们给出了 $F$ 的均匀性阈值 $thres(F)$ 的下界和上界。特别地，我们得到 $thres(\triangle) = 5$，改进了 Gy\H{o}ri 的结果。我们还研究了线性超图上的类似问题。令 $ex^L_r(n,F)$ 表示在 $n$ 个顶点上不含 Berge-$F$ 的 $r$-一致线性超图中超边数的最大值，并令线性均匀性阈值 $thres^L(F) = \min\{r_0 :ex^L_r(n,F) = o(n^2) \text{ for all } r \ge r_0 \}$。我们证明 $thres^L(F)$ 等于 $F$ 的色数。