关于 Berge 超图均匀性阈值的一点注记

图的 Berge 拷贝是指通过任意扩大边而得到的超图。Grósz、Methuku 和 Tompkins 在 2020 年证明，对任意图 $F$，存在整数 $r_0=r_0(F)$，使得对任意 $r\ge r_0$，任何不含 $F$ 的 Berge 拷贝的 $r$-一致超图都有 $o(n^2)$ 条超边。满足此性质的最小 $r_0$ 称为 $F$ 的均匀性阈值，记作 $th(F)$。他们证明了 $th(F)\le R(F,F')$，其中 $R$ 表示非对角拉姆齐数，$F'$ 是从 $F$ 中删除一条边得到的任意图。我们将该上界改进为 $th(F)\le R(K_{\chi(F)},F')$，并利用新上界精确确定了若干图类的 $th(F)$。