长紧致环的代码度 Turán 密度出现跌代

我们研究 $\mathcal{C}_\ell^r$（即长度为 $\ell$ 的 $r$ 均匀超图紧致环）的代码度 Turán 密度。Han、Lo 与 Sanhueza-Matamala 的结果指出：若 $\ell$ 足够大且 $r/\gcd(r,\ell)$ 为偶数，则该紧致环的代码度 Turán 密度为 $1/2$。我们证明：若不满足上述条件，即 $r/\gcd(r,\ell)$ 为奇数，当 $\ell$ 足够大时，$\mathcal{C}_\ell^r$ 的代码度 Turán 密度至多为 $1/3$。此上界在无穷多个均匀性 $r$ 以及该剩余类模 $r$ 的所有足够大的 $\ell$ 上均可取。我们的证明利用了紧致环的 Turán 类型定理与超图边集的“有向着色”之间的群论联系。