求解ℓ₂-范数下Turán四面体问题
组合数学
2022-05-03 v2
摘要
Turán著名的四面体问题是计算四面体K₄³的Turán密度。这等价于确定一个无K₄³的n顶点3-均匀超图的共度向量的最大ℓ₁-范数。我们引入了一种衡量超图极值性的新方法，并渐近地确定了四面体在我们概念下的极值函数。一个3-均匀超图G的共度平方和co₂(G)是所有顶点对xy的共度平方d(x,y)²之和，换言之，是顶点对共度向量的ℓ₂-范数的平方。我们定义exco₂(n,H)为在所有无H的n顶点3-均匀超图G上co₂(G)的最大值。我们使用旗代数计算渐近地确定了K₄³和K₅³的共度平方极值数，并额外证明了稳定性结果。特别地，我们证明了ℓ₂-范数下的极值无K₄³超图具有与Turán猜想中一个推测的极值超图大致相同的结构。此外，我们证明了关于exco₂(n,H)的若干一般性质，包括标度极限的存在性、膨胀不变性以及超饱和结果。
引用
@article{arxiv.2108.10408,
title = {Solving Tur\'an's Tetrahedron Problem for the $\ell_2$-Norm},
author = {József Balogh and Felix Christian Clemen and Bernard Lidický},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.10408},
year = {2022}
}
备注
23 pages