关于反正则$k$-超图的独立多项式与阈值

给定整数$k\geq 3$与初始的$k-1$个孤立顶点，通过交替添加一个孤立顶点(不与其他任何顶点相连)或一个支配顶点(与所有其他$k-1$个顶点相连)来构造一个{\em 反正则$k$-超图}。设$a_i$为超图$H$中基数为$i$的独立集个数，则$H$的{\em 独立多项式}定义为$I(H;x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i$，其中$m$为最大独立集的大小。本文的主要目的将反正则图的独立多项式的部分结果推广到反正则$k$-超图的情形。特别地，我们推导了反正则$k$-超图的独立多项式的(半)闭式公式并证明其对数凹性。进一步，我们证明反正则$k$-超图是{\em $T2$-阈值}的，即存在顶点集的标号$c$与阈值$\tau$，使得对任意基数为$k$的顶点子集$S$，$\sum_{i\in S}c(i)>\tau$当且仅当$S$是一条超边。