关于k-部图中独立横截的因子

一个 $[k,n,1]$-图是一个 $k$-部图，其各部分大小为 $n$，且任意两部分诱导的二部图均为一个匹配。此类图中的一个独立横截是一个独立集，与每一部分恰交于一个顶点。独立横截的因子是 $n$ 个两两不交的独立横截的集合。设 $f(k)$ 为最小整数 $n_0$，使得当 $n \ge n_0$ 时每个 $[k,n,1]$-图都有独立横截的因子。若干已知猜想蕴含：对 $k \ge 2$，若 $k$ 为偶数则 $f(k)=k$，若 $k$ 为奇数则 $f(k)=k+1$。尽管基于迭代 Hall 定理的简单贪心算法表明 $f(k) \le 2k-2$，且已知无更好上界，事实上存在实例表明上界 $2k-2$ 对该贪心算法是紧的。本文显著改进了贪心算法上界，证明对所有充分大的 $k$ 有 $f(k) \le 1.78k$，回答了 MacKeigan 的一个问题。