稀疏随机图中几乎生成圈的平方的局部韧性

1962 年，Pósa 猜想：若 $\delta(G)\ge 2n/3$，则图 $G=(V, E)$ 包含哈密顿圈的平方。三十多年后，Komlós、Sárközy 和 Szemerédi 才利用所谓的 Blow-Up Lemma 证明了这一猜想。在此我们将他们的结果推广到随机图环境。我们证明，对于任意 $\epsilon > 0$ 和 $p=n^{-1/2+\epsilon}$，渐近几乎必然地（a.a.s.），$G_{n,p}$ 的每个最小度至少为 $(2/3+\epsilon)np$ 的子图都包含一个具有 $(1-o(1))n$ 个顶点的圈的平方。这在三个方面几乎是最优的：(1) 当 $p\ll n^{-1/2}$ 时，随机图将不包含任何长圈的平方；(2) 无法期望生成圈的平方具有韧性版本（因为删除单个顶点邻域内的所有边即可破坏此性质）；(3) 对于 $c<2/3$，渐近几乎必然地 $G_{n,p}$ 包含一个最小度至少为 $cnp$ 的子图，且该子图不包含具有 $(1/3+c)n$ 个顶点的路的平方。