随机增广图中哈密顿圈的幂

我们研究在具有较大最小度、并以随机方式添加了一些额外边的图中,哈密顿圈的幂的存在性。由 Dirac 以及 Komlós、Sarközy 和 Szemerédi 的定理可知,对每个 $k\geq 1$ 以及充分大的 $n$,仅一个 $n$ 顶点图 $G$ 的最小度 $\delta(G)\ge\tfrac{k}{k+1}n$ 就足以保证存在哈密顿圈的第 $k$ 次幂。此处我们证明,在本质上相同的度假设下,仅添加 $O(n)$ 条随机边就能以接近于 1 的概率确保哈密顿圈的第 $(k+1)$ 次幂的出现。