稀疏随机图中最长圈长度的缩放极限

我们讨论稀疏随机图 $G_{n,p},p=c/n$（$c$ 为常数）中最长圈的长度。我们证明对于较大的 $c$，存在一个函数 $f(c)$ 使得 $L_n(c)/n\to f(c)$ 几乎必然成立。该函数 $f(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中 $p_k$ 是 $k$ 的多项式。我们仅能显式给出 $p_1,p_2$ 的值，尽管原则上可计算任意 $p_k$。我们立即看到最长路径的长度也以高概率渐近于 $f(c)n$。