关于高度对称图的广义 $\vartheta$-数及相关问题

本文对图的广义 $\vartheta$-数进行了深入分析。广义 $\vartheta$-数 $\vartheta_k(G)$ 既是图的多色数 $k$-multichromatic number 的上界，也是最大 $k$-可着色子图问题的上界。我们给出了 $\vartheta_k(G)$ 的多种性质，例如序列 $(\vartheta_k(G))_k$ 单调递增且以图 $G$ 的阶为上界。我们研究了当 $G$ 为两个图的强积、析取积或笛卡尔积时的 $\vartheta_k(G)$。我们给出了若干图类（包括 Kneser 图、圈图、强正则图和正交图）上广义 $\vartheta$-数的闭式表达式。本文给出了图的 $k$-多色数与其补图的 $k$-多色数的乘积与和的上界，以及若干图类（包括 Hamming 图和 Johnson 图）上 $k$-多色数的下界。