广义因果临界图与 $k$-$d$ 临界图的大小条件与谱条件

设 $\mbox{odd}(G)$ 和 $i(G)$ 分别表示图 $G$ 中非平凡奇数分支数和孤立顶点数。图 $G$ 的 $k$-Berge-Tutte 公式定义为:对于偶数 $k$: $\mbox{def}_k(G)=\mathop{\text{max}}\limits_{S\subseteq V(G)}\{k\cdot i(G-S)-k|S|\}$;对于奇数 $k$: $\mbox{def}_k(G)=\mathop{\mbox{max}}\limits_{S\subseteq V(G)}\{\mbox{odd}(G-S)+k\cdot i(G-S)-k|S|\}$。图 $G$ 的 $k$ 屏障是达到图 $G$ 中 $k$-Berge-Tutte 公式最大值的子集 $S\subseteq V(G)$。若图 $G$ 的顺序为奇数(resp.偶数),则若其唯一 $k$ 屏障为 $\emptyset$,则 $G$ 为广义因果临界图(resp.广义双临界图)。记 $E_G(v)$ 为图 $G$ 中顶点 $v$ 的所有 incident 边的集合。图 $G$ 的 $k$ 匹配是函数 $f:E(G) \rightarrow \{0,1,...,k\}$,满足 $\sum_{e\in E_G(v)} f(e)$ $\leq k$ 对每个顶点 $v\in V(G)$。对于 $1\leq d\leq k$ 且 $d \equiv |V(G)|$(mod 2),若对任意 $v \in V(G)$,存在 $k$ 匹配 $f$ 使得 $\sum_{e\in E_G(v)}f(e)=k-d$ 且 $\sum_{e\in E_G(u)}f(e)=k \text{ 对任意 } u\in V(G)-\{v\}$,则 $G$ 为 $k$-$d$ 临界图。本文在图 $G$ 为广义因果临界、广义双临界和 $k$-$d$ 临界的条件下,给出以大小或谱半径为界的紧充分条件。此外,我们证明了四类因子(即 $\{K_2,\{C_t: t\geq 3\}\}$-因子, $\{K_2,\{C_{2t+1}:t\geq 1 \}\}$-因子, 分数完美匹配, 完美 $k$ 匹配(偶数 $k)$)在图中存在的等价性。因此,我们也给出图 $G-v$ 存在上述四种因子之一的大小条件和谱半径条件,对任意 $v\in V(G)$。