关于广义 theta 图的色根

广义 theta 图 $\Theta_{s_1,...,s_k}$ 由一对端点通过 k 条内部不相交、长度分别为 $s_1,...,s_k \ge 1$ 的路径连接而成。我们证明,k 元广义 theta 图的色多项式 $\pi(\Theta_{s_1,...,s_k},z)$ 的根均位于圆盘 $|z-1| \le [1 + o(1)] k/\log k$ 内,且对路径长度 $s_i$ 一致。此外,我们证明 $\Theta_{2,...,2} \simeq K_{2,k}$ 确实具有模长为 $[1 + o(1)] k/\log k$ 的色根。最后,对 $k \le 8$,我们证明使 $|z-1|$ 极大的色根所在的广义 theta 图是各路径长度均为 2 的图;我们猜想这对所有 k 均成立。