在 2 处及 Beraha 数 $B_{10}$ 处的色根

通过构造合适的图并确定其色多项式，我们解决了两个关于实色根的开问题。首先，我们给出了使得 Beraha 数 $B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$ 为色根的图。由于此前已知没有其他非整数 Beraha 数为色根，这完成了对究竟哪些 Beraha 数可为色根的判定。接下来我们构造了一个无限族 $3$-连通图，使得对任意 $k \geqslant 1$，该族中存在一个成员以 $q=2$ 作为重数至少为 $k$ 的色根。前者解决了 Salas 与 Sokal [J. Statist. Pys. 104 (2001) pp. 609--699] 的一个问题，后者解决了 Dong 与 Koh [J. Graph Theory 70 (2012) pp. 262--283] 的一个问题。