Erdős-Rothschild 问题的精确解

令 $\textbf{k} := (k_1,\ldots,k_s)$ 为一列自然数。对图 $G$，令 $F(G;\textbf{k})$ 表示用颜色 $1,\dots,s$ 对 $G$ 的边着色，使得对每个 $c \in \{1,\dots,s\}$，颜色为 $c$ 的边不含阶为 $k_c$ 的团的方式数。记 $F(n;\textbf{k})$ 为所有 $n$ 个顶点的图 $G$ 上 $F(G;\textbf{k})$ 的最大值。对于这一由 Erdős 与 Rothschild 于 1974 年提出的问题，目前已知的精确（或渐近）结果极少。我们证明了当 $n \to \infty$ 时的一些新精确结果：（i）一个保证所有极值图均为完全多部图的关于 $\textbf{k}$ 的充分条件，它系统地恢复了所有已有的精确结果。（ii）针对 Erdős 与 Rothschild 的原问题，在长度为 $7$ 的 $\textbf{k}=(3,\ldots,3)$ 情形，唯一极值图是平衡的完全 $8$-部图，其着色源于阶为 $8$ 的 Hadamard 矩阵。（iii）在充分条件（i）不成立的 $\textbf{k}=(k+1,k)$ 情形，对 $3 \leq k \leq 10$，唯一极值图是完全 $k$-部图，其中一部分大小小于 $k$，其余各部分大小尽可能相等。