彩虹 Erdős-Rothschild 问题的一个推广

给定整数 $r \geq 2$、$k \geq 3$ 和 $2 \leq s \leq \binom{k}{2}$，以及图 $G$，我们考虑 $G$ 的 $r$-边染色，其中不存在顶点数为 $k$ 的完全图 $K_k$ 的拷贝且出现 $s$ 种或更多颜色，这类染色称为 $\mathcal{P}_{k,s}$-自由 $r$-染色。我们证明，对于充分大的 $n$ 和 $r \geq r_0(k,s)$，在所有 $n$ 个顶点的图中，$(k-1)$-部 Turán 图 $T_{k-1}(n)$ 给出了 $\mathcal{P}_{k,s}$-自由 $r$-染色的最大数目，并且它是具有此性质的唯一图。