Nordhaus-Gaddum 型无符号拉普拉斯特征值问题

设 $G$ 为 $n$ 阶图，令 $q_1(G)\geq q_2(G)\geq\cdots\geq q_n(G)$ 表示 $G$ 的无符号拉普拉斯特征值。Ashraf 与 Tayfeh-Rezaie [Electron. J. Combin. 21 (3) (2014) \#P3.6] 证明了 $q_1(G)+q_1(\overline{G})\leq 3n-4$，等号成立当且仅当 $G$ 或 $\overline{G}$ 为星图 $K_{1,n-1}$。本文讨论如下问题：对 $n\geq6$，是否恒有 $q_2(G)+q_2(\overline{G})\leq 2n-5$？我们对补图不连通的图与二部图给出了该问题的肯定回答，并确定了达到该界的图。此外，我们证明了 $q_2(G)+q_2(\overline{G})\geq n-2$，并对极值图进行了刻画。