图的 Q 指标排序：给定边数与围长

图谱理论中的无符号拉普拉斯矩阵是图的一个显著矩阵，并被研究者广泛研究。1981 年，Cvetković 指出了图谱进一步研究的 12 个方向，其中之一是“图的分类与排序”。沿着这一经典方向，我们关注图的无符号拉普拉斯矩阵最大特征值的排序，通常称为图的 $Q$-指标。令 $\mathbb{G}(m, g)$（相应地为 $\mathbb{G}(m, \geq g)$）为具有围长 $g$（相应地为不小于 $g$）的 $m$ 条边的连通图族，其中 $g\ge3$。本文中，我们首先对 $\mathbb{G}(m, g)$ 中图的前 $(\lfloor\frac{g}{2}\rfloor+2)$ 个最大 $Q$-指标进行排序，其中 $m\ge 3g\ge 12$。其次，我们对 $\mathbb{G}(m, \geq g)$ 中图的前 $(\lfloor\frac{g}{2}\rfloor+3)$ 个最大 $Q$-指标进行排序，其中 $m\ge 3g\ge 12$。作为补充，我们给出 $\mathbb{G}(m, 3)$ 中 $m\ge 9$ 的图的前五个最大 $Q$-指标。最后，我们给出所有具有边数 $m$ 的连通图的前十一个最大 $Q$-指标的排序。