Q 指数的局部图塔不等式

对于连通图 G，记 q(G) 为 G 的 Q 指数，即其无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值。Abreu 和 Nikiforov (2013) 证明了 q(G) ≤ 2n(1 - 1/ω(G))，其中 ω(G) 表示 G 的团数。我们首先给出该结果的简短代数证明。对于顶点 v ∈ V(G)，记 c(v) 为包含 v 的最大团的阶数。我们的主要结果是下面的顶点局部上界，细化了 Abreu 和 Nikiforov 的结果：q(G) ≤ 2∑_{v∈V(G)}(1 - 1/c(v))。当 ω(G)=2 时，等号恰好 holds 对完全二分图，当 ω(G)≥3 时，等号 holds 对规则完全 ω(G)-分图。作为推论，我们还获得了针对 A_α 矩阵的类似局部不等式。最后，我们将上述局部不等式推广到带符号图的顶点加权情况。这促进了谱图塔型结果的局部分析计划。