谱 Turán 类型定理的本征局部化

设 G 为图，设 v 和 e 为 G 的一个顶点和一条边。定义 c(v)（或 c(e)）为 G 中包含 v（或 e）的最大团的阶数。将 G 的邻接特征值记为 \lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_n。我们研究谱 Turán 类型定理的局部化细化，通过将全局参数如团数 \omega(G)、图的大小 m 和阶数 n 替换为局部量 c(v) 和 c(e)。受 Elphick、Linz 和 Wocjan（2024）的猜想的启发，我们首先提出 Wilf 不等式的顶点局部化强化： \sqrt{s^{+}(G)} \le \sum_{v\in V(G)}\left(1-\frac{1}{c(v)}\right)，其中 s^+(G) = \sum_{\lambda_i > 0}\lambda_i^2。受 Bollobás-Nikiforov 关于前两个特征值的猜想（2007）启发，我们随后引入一种边局部化类比：\lambda_1^2(G) + \lambda_2^2(G) \le \sum_{e\in E(G)} 2\left(1-\frac{1}{c(e)}\right)。作为有效性证据，我们验证上述猜想对无金刚石图和随机图成立。我们还提出了通过将谱半径替换为 \sqrt{s^{+}(G)} 来强化谱版本的 Erdős、Stone 和 Simonovits 定理，并对所有 \chi(F)=3 的 F-自由图建立。我们证明的关键工具是将 \sqrt{s^{+}(G)} 与三角形计数 t(G) 关联的一般上界。最后，我们证明了 Nikiforov 步骤不等式的局部化版本并猜想更强的局部化版本。这些结果促进了局部化谱极值不等式的更广泛计划。