$k$-扇的线性 Turán 数

若一个超图的任意两条边最多交于一个顶点，则称其为线性超图。对于给定的 $k$-均匀超图族 ${\cal{F}}$，线性 Turán 数 ${\rm ex}_{\rm lin}(n,{\cal{F}})$ 是 $n$ 个顶点上不含 ${\cal{F}}$ 中任何成员作为子超图的 $k$-均匀线性超图 $\mathcal H$ 的最大边数。对 $k\ge 2$，$k$-扇 $F^k$ 是具有 $k$ 条边 $f_1,\dots,f_k$ 两两交于同一顶点 $v$，以及一条额外的边 $g$ 与所有 $f_i$ 交于不同于 $v$ 的顶点的 $k$-均匀线性超图。我们证明了 Mantel 定理的如下推广：$${\rm ex}_{\rm lin}(n,F^k)\le {n^2 / k^2}.$$ 此外，$|{\mathcal H}|=n^2/k^2$ 成立当且仅当 $n\equiv 0\pmod k$ 且 $\mathcal H$ 是 $n$ 个点、$k$ 个组的横截设计。我们也研究了 ${\rm ex}_{\rm lin}(n,{\cal{F}})$，其中 $\cal{F}$ 是三个最多七个点上具有四个三元组的线性三元系构成的任何子集。