Turan 问题与阴影 III：图的扩张

图 $G$ 的扩张 $G^+$ 是指从 $G$ 导出的 3-一致超图，其构造方式为：用一个新的顶点扩充 $G$ 的每条边，该新顶点不属于 $V(G)$，且不同的边由不同的顶点扩充。令 $ex_3(n,F)$ 表示不含任何 3-一致超图 $F$ 副本的 $n$ 顶点 3-一致超图中的最大边数。对 $ex_3(n,G^+)$ 的研究涵盖了一些备受关注的课题，包括 $F$ 由 $k$ 条不相交边组成、$G$ 为三角形、$G$ 为路径或圈、以及 $G$ 为树的情形。本文启动了对 $ex_3(n,G^+)$ 行为的更广泛研究。具体而言，我们证明了只要 $t > (s - 1)!$ 且 $s \geq 3$，就有 $$ex_3(n,K_{s,t}^+) = \Theta(n^{3 - 3/s})$$。其中一个主要的开放问题是确定对于哪些图 $G$，量 $ex_3(n,G^+)$ 是关于 $n$ 的二次函数。我们证明了当 $G$ 为任意 Tur\'{a}n 数为 $o(n^{\varphi})$ 的二分图时，上述情况成立，其中 $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$；特别地，这表明 $ex_3(n,Q^+) = \Theta(n^2)$，其中 $Q$ 是三维立方体图。