仅含单色完美匹配的边染色图及其与量子物理的联系

Krenn、Gu 和 Zeilinger 因其与量子物理中一个问题的联系而开启了 PMValid 边染色的研究。若一个图容许一种 $k$-边染色（即使用 $k$ 种颜色的边染色），使得所有完美匹配均为单色且 $k$ 个颜色类中的每一个都至少包含一个完美匹配，则称该图具有 PMValid $k$-边染色。图 $G$ 的匹配指数 $\mu(G)$ 定义为 $G$ 容许 PMValid $k$-边染色的最大 $k$ 值。容易看出，$\mu(G)\geq 1$ 当且仅当 $G$ 具有完美匹配（由于平凡的 $1$-边染色是 PMValid 的）。Bogdanov 观察到，对于所有非同构于 $K_4$ 的图，$\mu(G)\leq 2$ 且 $\mu(K_4)=3$。然而，对满足 $\mu(G)=1$ 和 $\mu(G)=2$ 的图的特征描述尚属未知。本文中我们回答了该问题。利用此特征描述，我们还给出了一种快速算法来计算图 $G$ 的 $\mu(G)$。鉴于我们的工作，PMValid $k$-边可染图的结构现已对所有 $k$ 完全明晰。我们的特征描述也对上述量子物理问题有影响，特别地，它解决了 Krenn 和 Gu 针对一类子图的猜想。