关于图中二部独立数的一个 Caro-Wei 界的注记

二部图 $G$ 中大小为 $t$ 的双洞是 $G$ 的二部补图中的 $K_{t,t}$ 拷贝。给定一个 $n \times n$ 二部图 $G$，令 $\beta(G)$ 为使得 $G$ 具有大小为 $k$ 的双洞的最大 $k$。我们证明 $$\beta(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \frac{1}{d(v)+1} \right \rfloor.$$ 此外，我们证明上述结果的如下推广。给定一个 $n \times n$ 二部图 $G$，令 $\beta_d(G)$ 为使得 $G$ 具有 $k \times k$ $d$-退化子图的最大 $k$。我们证明 $$\beta_d(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \min\left(1,\frac{d+1}{d(v)+1}\right) \right \rfloor.$$ 注意到 $\beta_0(G) = \beta(G)$。