关于图与多重图的两部覆盖

(多重)图 $G$ 的两部覆盖是一组二分图，使得 $G$ 的每条边至少属于其中之一。该覆盖的容量是这些二分图顶点数之和。在本注记中，我们给出了 Hansel 以及 Katona 和 Szemerédi 旧结果的一个（适度的）加强：证明了在 $n$ 个顶点的图中，若包含第 $i$ 个顶点的独立集的最大大小为 $\alpha_i$，则其任意两部覆盖的容量至少为 $\sum_i \log_2 (n/\alpha_i)$。我们还对 Kim 和 Lee 近期关于完全多重图两部覆盖最小可能容量的结果获得了略微改进的界。