乘积网络中的线性k荫度

线性$k$-森林是指其连通分支为长度至多为$k$的路的森林。图$G$的线性$k$-荫度，记为${\rm la}_k(G)$，是将$G$分解所需的最少线性$k$-森林个数。最近，Zuo、He和Xue研究了各种完全图、圈、完全多部图组合的笛卡尔积的线性$(n-1)$-荫度的精确值。本文中，对于一般的$k$，我们证明对任意两个图$G$和$H$有$\max\{{\rm la}_{k}(G),{\rm la}_{\ell}(H)\}\leq {\rm la}_{\max\{k,\ell\}}(G\Box H)\leq {\rm la}_{k}(G)+{\rm la}_{\ell}(H)$。分别用$G\circ H$、$G\times H$和$G\boxtimes H$表示两个图$G$和$H$的字典积、直积和强积。本文我们还推导了${\rm la}_{k}(G\circ H)$、${\rm la}_{k}(G\times H)$和${\rm la}_{k}(G\boxtimes H)$的上界和下界。我们还研究了$2$维网格图、$r$维网格、$r$维环面、$r$维广义超立方体和$2$维超Petersen网络的线性$k$-荫度。