禁止环的环面图的顶点树状色数

图 $G$ 的顶点树状色数 $a(G)$ 是使得 $V(G)$ 可以划分为 $k$ 个集合且每个集合都导出森林的最小 $k$。对于平面图 $G$，已知 $a(G)\leq 3$。在最近的两篇论文中，证明了对于某些 $k\in\{3, 4, 5, 6, 7\}$，不含 $k$-环的平面图顶点树状色数至多为 2。对于环面图 $G$，已知 $a(G)\leq 4$。考虑以下问题：不含 $k$-环的环面图是否顶点树状色数至多为 2？已知该问题对 $k=3$ 成立，最近 Zhang 证明了对 $k=5$ 成立。由于 5 个顶点的完全图是不含任何 $k$-环（$k\geq 6$）的环面图且顶点树状色数至少为 3，唯一未知的情况是 $k=4$。我们肯定地解决了这一情况：即证明了不含 4-环的环面图顶点树状色数至多为 2。