将不含 4-圈与 5-圈的平面图划分为有界度森林

1976 年，Steinberg 猜想不含 $4$-圈和 $5$-圈的平面图是 $3$-可着色的。这一猜想吸引了众多研究者约 40 年，直到最近被 Cohen-Addad 等人 (2017) 证伪。然而，对圈长有限制的平面图着色仍是一个活跃的研究领域，且对这一类特定图类的兴趣依然存在。设 $G$ 为不含 $4$-圈和 $5$-圈的平面图。对于满足 $d_1+d_2\geq8$ 且 $d_2\geq d_1\geq 2$ 的整数 $d_1$ 和 $d_2$，已知 $V(G)$ 可划分为两个集合 $V_1$ 和 $V_2$，其中每个 $V_i$ 导出最大度至多为 $d_i$ 的图。由于 Steinberg 猜想为假，不能保证将 $V(G)$ 划分为两个集合，其中一个导出空图而另一个导出森林。我们的主要定理处于上述两个研究方向的交叉点。我们证明 $V(G)$ 可划分为两个集合 $V_1$ 和 $V_2$，其中 $V_1$ 导出最大度至多为 $3$ 的森林，$V_2$ 导出最大度至多为 $4$ 的森林；这既是 Steinberg 猜想的松弛，也是 Sittitrai 和 Nakprasit (2019) 结果在更强形式下的加强。