无相邻短圈的平面图的$(3,1)^*$-可选性

图$G$的列表赋值是一个函数$L$，它为每个顶点$v\in V(G)$分配一个颜色列表$L(v)$。$(L,d)^*$-着色是一个映射$\pi$，它为每个顶点$v\in V(G)$分配一种颜色$\pi(v)\in L(v)$，使得$v$的邻居中至多有$d$个接收颜色$\pi(v)$。如果对于满足所有$v\in V(G)$均有$|L(v)|\ge k$的每个列表赋值$L$，图$G$都存在一个$(L,d)^*$-着色，则称图$G$是$(k,d)^*$-可选的。2001 年，Lih 等人\cite{LSWZ-01}证明了不含 4-圈和$l$-圈（其中$l\in \{5,6,7\}$）的平面图是$(3,1)^*$-可选的。随后，Dong 和 Xu\cite{DX-09}证明了不含 4-圈和$l$-圈（其中$l\in \{8,9\}$）的平面图是$(3,1)^*$-可选的。存在包含 4-圈但不是$(3,1)^*$-可选的平面图 (Crown, Crown and Woodall, 1986\cite{CCW-86})。这在部分上解释了为何在上述所有已知的平面图$(3,1)^*$-可选性的充分条件中，4-圈都被完全禁止。在本文中，我们允许存在不与相对较短的圈相邻的 4-圈。更确切地说，我们证明了每个不含与 3-圈和 4-圈相邻的 4-圈的平面图都是$(3,1)^*$-可选的。这是对上述所有结果的共同加强。此外，作为推论，我们部分回答了 Xu 和 Zhang\cite{XZ-07}提出的问题，并表明每个不含 4-圈的平面图都是$(3,1)^*$-可选的。