平面图的灵活性——锐化工具以获得大小为4的列表

如果一个图的每个顶点$v$有一个可用颜色列表$L(v)$，并且存在一个正常着色使得每个$v$的颜色在$L(v)$中，则该图是$L$-可着色的。如果每个给每个顶点至少$k$种颜色的列表赋值$L$都保证存在$L$-着色，则该图是$k$-可选择的。给定列表赋值$L$，顶点$v$的$L$-请求是一种颜色$c\in L(v)$。本文研究来自[Z. Dvořák, S. Norin, and L. Postle: List coloring with requests. J. Graph Theory 2019]中广泛研究的预着色扩展问题的一个变体，其中必须满足“足够多”而非全部请求的预着色集。如果对于任何$k$-列表赋值$L$和任何$L$-请求集$S$，存在一个$G$的$L$-着色满足$S$中$\varepsilon$比例的请求，则图$G$对于列表大小$k$是$\varepsilon$-灵活的。猜想平面图对于列表大小5是$\varepsilon$-灵活的，但仅对列表大小6和某些平面图子类得到证明。我们给出了上述结果证明中使用的主要工具的更强版本。通过这样做，我们改进了Masařík的结果，并证明不含$K_4^-$的平面图对于列表大小5是$\varepsilon$-灵活的。我们还证明不含4-圈且3-圈距离至少为2的平面图对于列表大小4是$\varepsilon$-灵活的。最后，我们引入了一种新的（稍弱）$\varepsilon$-灵活性形式，其中每个顶点恰好有一个请求。在该设置中，我们提供了一个更强的工具，并展示了它在进一步扩展对于列表大小5是$\varepsilon$-灵活的图类方面的有用性。