关于平面图的弱灵活性

最近，Dvořák、Norin 和 Postle 将灵活性作为图上列表着色的扩展引入 [JGT 19']。在这一新设定中，$V(G)$ 某子集中的每个顶点 $v$ 有一个对其颜色列表 $L(v)$ 中特定颜色 $r(v)$ 的请求。目标是找到一种 $L$ 着色，满足许多但不必是全部的请求。研究的主要问题是，是否存在一个通用常数 $\epsilon >0$，使得某图类 $\mathcal{C}$ 中的任意图 $G$ 至少满足 $\epsilon$ 比例的请求。更形式化地，对于 $k > 0$，目标是证明对于顶点集为 $V$ 的任意图 $G \in \mathcal{C}$，给定每个顶点大小为 $k$ 的任意列表分配 $L$，以及对于任意 $R \subseteq V$ 和请求向量 $(r(v): v\in R, ~r(v) \in L(v))$，存在 $G$ 的一个 $L$-着色满足至少 $\epsilon|R|$ 个请求。若此成立，则称 $\mathcal{C}$ 对于大小为 $k$ 的列表是 $\epsilon$-灵活的。Choi 等人 [arXiv 20'] 引入了弱灵活性的概念，其中 $R = V$。我们通过引入一个处理弱灵活性的工具进一步发展了这一方向。我们展示了这一新工具，证明了对于每个正整数 $b$，存在 $\epsilon(b)>0$，使得不含 $K_4, C_5 , C_6 , C_7, B_b$ 的平面图类对于大小为 $4$ 的列表是弱 $\epsilon(b)$-灵活的（这里 $K_n$、$C_n$ 和 $B_n$ 分别是 $n$ 个顶点的完全图、环和书图）。我们还证明了不含 $K_4, C_5 , C_6 , C_7, B_5$ 的平面图类对于大小为 $4$ 的列表是 $\epsilon$-灵活的。这些结果是紧的，因为这些图类甚至不是 3-可着色的。