曲面上无三角图的指数多4-列表着色

Thomassen证明了，若 $L$ 是 $G$ 的5-列表分配，则每个具有 $n$ 个顶点的平面图 $G$ 至少有 $2^{n/9}$ 个不同的 $L$-着色；若 $L$ 是 $G$ 的3-列表分配且 $G$ 的围长至少为5，则至少有 $2^{n/10000}$ 个不同的 $L$-着色。Postle和Thomas证明了，若 $G$ 是嵌入于亏格 $g$ 曲面 $\Sigma$ 上的具有 $n$ 个顶点的图，则存在常数 $\epsilon,c_g > 0$，使得若 $G$ 有一个 $L$-着色，则当 $L$ 是 $G$ 的5-列表分配，或 $L$ 是 $G$ 的3-列表分配且 $G$ 围长至少为5时，$G$ 至少有 $c_g2^{\epsilon n}$ 个不同的 $L$-着色。更一般地，他们证明了存在常数 $\epsilon,\alpha>0$，使得若 $G$ 是嵌入于固定亏格 $g$ 曲面 $\Sigma$ 上的具有 $n$ 个顶点的图，$H$ 是 $G$ 的真子图，$\phi$ 是 $H$ 的一个可扩展为 $G$ 的 $L$-着色的 $L$-着色，则当 $L$ 是5-列表分配，或 $L$ 是3-列表分配且 $G$ 围长至少为5时，$\phi$ 可扩展为 $G$ 的至少 $2^{\epsilon(n - \alpha(g + |V(H)|))}$ 个不同的 $L$-着色。我们证明了若 $G$ 是无三角图且 $L$ 是 $G$ 的4-列表分配时的相同结果，其中 $\epsilon=\frac{1}{8}$，$\alpha= 130$。